5.2. Модель Харрода—Домара


Модель Харрода—Домара описывает динамику выхода (дохода) Y (t), который является суммой потребления C (t) и инвестиций
(5.1)
Y (t ) = C (t) +1 (t)
Отношение инвестиций I (t) к выходу Y (t) для момента времени t называется нормой накопления в момент времени t.
Формула для нормы накопления a (t) имеет вид:

Экономика считается закрытой, поэтому чистый экспорт равен нулю, а государственные расходы в модели не выделяются. Основ-ной предпосылкой модели роста является формула взаимосвязи
I (t). Эти показатели удовлетворяют следующему соотношению:
между инвестициями и скоростью роста дохода. Предполагается, что инвестиции пропорциональны скорости роста дохода, т.е.
dY (t)
1 (t) — . (5-2)
где В — предельный коэффициент капиталоемкости, или фондоемкости, прироста дохода, равный отношению прироста капитала (основных средств) к приросту выпуска.
Обратная величина b — В называется предельным коэффициентом капиталоотдачи, или фондоотдачи.
В модель включаются следующие предпосылки:
модель не учитывает выбытие основного капитала;
модель не учитывает технического прогресса;
инвестиционный лаг равен нулю, т.е. инвестиции мгновенно переходят в прирост капитала;
производственная функция является линейной.
Изменяющиеся во времени выход Y (t) называется абсолютной
траекторией. Дифференциальное уравнение для определения абсолютной траектории модели Харрода—Домара получим, подставив (5.2) в (5.1):
Y (t) — C (t)+ Bddt). (5.3)
Соотношение (5.3) является линейным дифференциальным уравнением первого порядка. Обычно такие уравнения записывают в виде:
df-B.Y(t)-B.c(t) (5.4)
Известно, что решение линейного дифференциального уравне-ния такого вида можно представить в виде квадратур. Это решение можно отыскать во многих математических справочниках и учебниках по дифференциальным уравнениям. Для нашего случая решение принимает вид:
г і ( , г 1 Л t ( л t Л . . \— dt j -\— dt — j
(5.5)
Y(t) — eB -\-C(t)e B dt + c1 — eB \C(t)e Bdt + c
V /V
где с1 — постоянная интегрирования.
Пусть потребление в модели возрастает во времени по экспо-ненциальному закону. В этом случае функцию потребления от времени можно представить следующим образом:
С (t ) = Coert.
Коэффициент при переменной в показатели степени экспоненты является постоянным темпом прироста. Действительно, по про¦ = er. Темп
С (1)
шествии года темп роста потребления будет равен
Со
прироста находят как разность er -1. Если разложить экспоненту в ряд Тейлора и ограничиться первыми двумя членами, то получим er -1 и 1 + r -1 = r . Таким образом, темп прироста равен r. Заметим,
1 год
что темп прироста имеет размерность Подставив выражение для потребления в (5.5), получим функцию выпуска от времени (
Л
\ I
= eB
r - і It
^ ( C D ^П
- f e
B
dt + Cj
Y (t) = eB -BJerte Bdt + c1 (5.6)
r -1 It —+c
.Co _ e
B
r
B Постоянную интегрирования с1 найдем, подставив в (5.6) t = 0.
( \ Yo = Y (0 ) = e°
_0.
B

1
r
B
Отсюда получим
C = C0 •-L- + Y0 = + Y0.
1 B 1 0 1 - Br 0
r
B Подставив постоянную интегрирования в (5.6), найдем Co
-I Y C0_
~lYo 1 - Br
— C
D ^П
Y (Огы. (5.7)
C0
- + Y0
eB +1 - Br 1 - Br
1 - Br
Проведем анализ этой функции выпуска от времени. Рассмотрим несколько частных случаев.
1. Пусть r > . Уже из постановки задачи следует, что общестB
во будет проедать накопленный капитал, так как годовой темп прироста больше годовой фондоотдачи. Второе слагаемое в (5.7), отвечающее за потребление, становится отрицательным, так как
1 - Br < o , что следует из условия r >1. Из этого же условия следуB
ет, что функция еы растет быстрее функции eB . Таким образом, через некоторое время второе слагаемое по модулю превысит первое. Из сказанного следует, что потребление будет занимать все большую часть дохода и в конце концов сведет к нулю сначала инвестиции, а затем доход.
2. Положим r < B, т.е. темп прироста потребления ниже коэф-фициента капиталоотдачи. В этом случае результат заметно зависит
й , Co от нормы накопления в начальный момент времени a o -1 o и от
Yo
отношения нормы накопления в начальный момент времени к предельной фондоемкости.
Л
Co
Yo
(
(5.8)
B '
1 Po ao -1 B B
Рассмотрим несколько вариантов при различных связях r, po и Co
Co
2.1. Пусть r - po. Тогда
- Yo. Подставив это
(
1 - Br
1 - Co
Y,
1 - В
B
o J
соотношение и (5.8) в формулу (5.7), получим і і^Ш і [1-ІМ4Y(t) = Y0eB • Y0 J BJ = Y0 • eB • e BY0 = Y0 • e^ Y0 JB = Y0 • e^
Отсюда следует, что выход растет, причем темп прироста равен коэффициенту при показателе степени экспоненты, равному р0. Отсюда следует, что темп прироста прямо пропорционален норме
накопления в начальный момент времени а 0 = 1 - — и обратно
Y0
пропорционален коэффициенту капиталоемкости В .
2.2. Пусть — > r > р0. Это значит, что норма потребления больВ
ше коэффициента, который прямо пропорционален норме накопления в начальный момент времени. Таким образом, инвестиции могут оказаться недостаточными для нормального развития экономики. Для поставленных условий коэффициент в (5.7) при первом слагаемом будет отрицательным. Действительно, Л
C0 _ Y0
C
0
Y0 J
Y0 1 - Br-1 - Br 1 - Br
BY0 Поскольку в соотношении (5.7) коэффициент при показателе
степени в первом слагаемом больше, чем во втором, так как -В > r ,
то рано или поздно первое слагаемое по модулю превысит второе, и доход будет отрицательным.
2.3. Пусть r < р0. Это значит, что норма потребления меньше
коэффициента, который прямо пропорционален норме накопления в начальный момент времени. Таким образом, инвестиции могут оказаться слишком большими для нормального развития потребления. В этом случае при выполнении условия B > r коэффициент в (5.7) при первом слагаемом будет положительным. Действительно,
Y0= Bl- (-r +р0 )> 0. 0 1 - Br 1 - BrK '
Поскольку так же, как и в предыдущем случае, в соотношении (5.7) коэффициент при показателе степени в первом слагаемом больше, чем во втором, то рано или поздно первое слагаемое превысит второе. В дальнейшем первое слагаемое будет все
более и более подавлять второе, и процесс инвестирования будет вестись ради инвестирования, а не ради удовлетворения потребностей людей.
> Пример 5.1. Доход в начальный момент времени составляет Yo - 2o , а потребление в этот момент Co - 12 . Провести исследование параметров модели для двух вариантов: 1) r - o,2 , В - 8; 2) r - o,2 , В - 2 .
Решение. Норма накопления в начальный момент времени
C 12 составила a o -1 o -1 o, 4 .
0Y020
Вариант 1. Так как — - — - o, 125 , то этот случай соответст- B 8
вует условию r > B-, т.е. темп прироста потребления превышает фондоотдачу. Функция дохода модели в этом случае в зависимости от времени имеет вид:
Y (t) - (2o — 1 • є''8 + 12 - 4o • є''8 - 2o • eo,2t.
w ^ 1 - 8 • o,2 J 1 - 8 • o, 2
Потребление в модели изменяется по закону:
C(t)- Coer't - 12eo,2''.
Отсюда находим закон изменения инвестиций:
I (t)- Y (t) - C (t) - 4o • e"8 - 2o • eo2 • ' - 12eo,2'' - 4o • e''8 - 32ea2 ' '.
В целях определения момента времени, для которого инвестиции будут равны нулю, надо решить уравнение
4o • є'/8 - 32eo2t - o ^ e((8-o,2)t --; lne((8-o,2)t - ln32 ;
4o 4o
-o,o75t - -o, 223 , t - 3 года.
Таким образом, через три года инвестиции уменьшатся до нуля. Момент времени, для которого доход будет равен нулю, находят из уравнения
4o • e"8 - 2o • eo,2" - o ^ e(V8-o,2)" - o, 5; lne(1/8-o,2>t - lno,5; -o,o75t --o,693 , t - 9 лет. Через девять лет до нуля уменьшится доход.
а 0 4 11
Вариант 2. Находим р 0 =—0 = = 0,2 и — = — = 0,5 . Этот
В 2 B 2
вариант соответствует случаю, когда r = р0 = 0,2 . Находим траектории
' 4 12
-e0^ = 20 • e 0,2t;
Y (t ) = 1 20 — 1 e4 2 +- 2 • 0,2
0,2-t.
w і 1 - 2 • 0,2 J 1
С (t ) = C0ert = 12e 0,2 • t n „0,2 • „0,2 • t
= 8 •e
I (t) = Y (t) - C (t) = 20 • e0,2 t -12 • e' Таким образом, выпуск, потребление и инвестиции развиваются с годовым приростом, равным 20%. Л
<< | >>
Источник: Б.Т. Кузнецов. Макроэкономика. 2011

Еще по теме 5.2. Модель Харрода—Домара:

  1. 5.4. РАВНОВЕСИЕ И НЕРАВНОВЕСИЕ НА РЫНКЕ БЛАГ: ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ, МОДЕЛЬ «КРЕСТ КЕЙНСА»
  2. МОДЕЛЬ
  3. Декомпозиция модели
  4. 12-2. Модель IS-LM
  5. Экономическая модель
  6. Графические модели
  7. 13-1. Модель международногодифференцированного товара
  8. МИЛТОН-МОДЕЛЬ
  9. IV. МОДЕЛЬ (ГБ)
  10. § 2. Модели судебного конституционного контроля.
  11. Модель покупательского поведения
  12. 6.3 Метод расчета по корреляционно-регрессионным моделям
  13. МОДЕЛЬ
  14. 32. Понятие и критерии охраноспособности полезной модели