2.5. Модель Неймана


Модель Неймана [1, 4—6] применяется для изучения расширяющейся экономики. Эта модель, в отличие от модели Леонтьева, допускает производство одного продукта различными способами. Количество выпускаемых продуктов будем обозначать буквой n (в модели Леонтьева этой буквой обозначали количество отраслей), а количество способов их производства — буквой т.
Количество отраслей в модели Неймана не рассматривается. Каждый способ производства под номером j задается матрицей-столбцом затрат Г a \
A1j П2 j
aj =
на единицу интенсивности и соответствующей матриanj
V nj J г b1 j 1 b2 j
цей-столбцом выпусков bj =
. Таким образом, в результате
V bnj J производственного процесса затрачивается матрица-столбец aj и выпускается за счет этого матрица-столбец bj.
Интенсивностью производственного процесса называется объем товаров или услуг, выпускаемых в результате этого процесса в единицу времени.
Пара (aj, bj j характеризует технологический потенциал, заложенный в процессе под номером j , и называется базисом этого j-го производственного процесса. Все базисы производства называются базисными процессами. Базисные процессы можно описать матрицей затрат A и матрицей выпуска B . г b„ b
12 ... b1m
гa11 a12 ... a1m1 ... b
A =
в =
b21 b22 V bn1 bn2 ... bnm J
Van1 an2 ... anm J Коэффициенты затрат и выпуска неотрицательны, т.е. a^ > 0 и bj: > 0. Поскольку для реализации любого процесса необходимы
затраты хотя бы одного продукта, то для каждого j найдется хотя бы одно i , для которого
aj >
Аналогично, так как каждый продукт может быть произведен хотя бы одним способом, для каждого i найдется такое j , что
bv > °.
Продукция, идущая на конечное использование, в явном виде в модели Неймана не выделяется. Так как все секторы в модели рас-сматриваются как внутренние, или эндогенные, то рассматриваемая модель является замкнутой.
В модели Неймана заложен динамический процесс, причем осуществление затрат и выпуска готовой продукции разделено вре- менньїм интервалом, например годом. Номер года будем обозначать буквой t. Тогда t = 0,1,..., T, где T — общая длительность всего производственного процесса. Номер года помещается в виде верхнего индекса при показателе в скобках. Если матрицу-столбец ин- тенсивностей производственных процессов обозначить
г x(t )ї
Лі
=
то матрицу-столбец затрат и матрицу-столбец выпусков для года под номером t соответственно можно представить в виде
AX(t j и BX(t
(2.17)
AX(t j< BX{t-1)
где t = 0,1,..., T — номер периода; Bx(0) — начальные условия, или матрица-столбец запаса товаров к началу процесса.
Одним из условий модели Неймана является требование использования для производства товаров и услуг в данном периоде только тех продуктов, которые были произведены в предыдущем периоде. Отсюда следует, что затраты AX) в периоде под номером t не должны превышать выпуска в периоде под номером t -1. Поэтому должны выполняться условия
Модель Неймана, представленная в виде (2.17), задана в натуральной форме.
Матрицу-строку цен товаров можно ввести по формуле
P(t) / (t) (t) (t)\ P -(Р1 Р2 ... pn,
где p\t) — цена продукта под номером i в году под номером t, p\t' > 0 .
Тогда издержки по всем базисным процессам в период времени
t -1 можно записать в виде матрицы-строки P(t-1)A (затраты осуществляются по цене начала периода), а выручку в период времени
t — в виде матрицы-строки P(t )B (готовая продукция оценивается в конце периода). Модель Неймана в денежным выражении представляется в виде
P(t-1)A > P(t'B , (2.18)
P(t-1)AX(t) > P(t]BX(t', (2.19)
где t = 0,1,..., T — номер периода.
Из выражений (2.18) и (2.19) следует, что ни один процесс в модели Неймана не приносит дохода. Одним из объяснений этого является то, что издержки относятся к началу периода, а выручка — к его концу, т.е. разнесены во времени. Если же цены во времени
падают, т.е. P(t-1) > P(t), то существование соотношения (2.18) вполне логично, так как предприниматель может за те же деньги купить больше товаров в натуральной форме.
Если принять, что общая масса денег постоянна, то соотношение (2.19) можно записать в виде равенства
P(t-1) AX(t) = P(t )BX(t). (2.20)
Г 2 41

[> Пример 2.4. Дана матрица затрат A = I 6 I, начальная матрица-строка цен P(0)A = (5 6) и матрица-столбец начальных запасов Bx(0) =
Найти такую интенсивность производственных процессов, при которых выпуск в конце первого года будет максимальным, и определить этот выпуск.
Решение. Используя соотношение (2.17) и условия задачи, найдем
(„ (1) (1)Л f
г x(1)1 1
2x1(1) + 4x(1)1
201
.30,
2 4
6 3
AX (1) =
2x1 + 4x(1)A
2
2

0, Методы решения таких задач изложены во многих книгах, на-пример, в [2, 3]. Рассматриваемую задачу можно решить графи-ческим способом. Построим область решений специальных ог-раничений задачи. Границей первой полуплоскости является
прямая 2x1(1)+ 4x2^ = 20 или x1(1) = -2x21) +10 . Эта прямая проходит через две точки с координатами (10; 5) (рис. 2.1). Аналогично строим график прямой 6x|1) + 3x21) = 30 . Координатами точки пересечения являются решения системы уравнений
2x{1) + 4x21) = 20,
6x111)+ 3x21) = 30.
О (1) 10 (1) 10 Отсюда находим x = — , x\' = — .
x2 I
10-,

5 10
Рис.
2.1. Область допустимых решений
Областью допустимых решений является четырехугольник с уг-лами, имеющими координаты (0; 0) , (0; 5), j , (5; 0) .
Вектор a имеет проекцию на ось 0x{1), равную 5, а на ось 0x21) — равную 6, т.е.
a = 5 - i + 6 - j.
Строим вектор a и проводим линии уровня а = 5 - x{1) + 6 - x21), перпендикулярные этому вектору.
Последней точкой встречи прямой уровня с областью допустимых
/10 101 ^ (1) решении является точка А | . Поэтому x1 '
10.
опт,тах
3 ;
x(1 )опТ max = "j" . Максимальный выпуск в конце первого периода будет равен
110
ден. ед.
, или р)> = - • p) >.
(1+r)
В рассматриваемом случае последовательность p = jp(t), t = 0,1,..., Tj
называется стационарной траекторией цен.
Если для модели Неймана существуют стационарная траектория
производства X = |X(t), t = 0,1,..., Tj , стационарная траектория цен
P = |p(t), ^ 0,1,...,Tj , темп сбалансированного роста производства
X > 0 и норма процента r > 0 , то указанные четыре показателя в комплексе образуют состояние динамического равновесия в модели Неймана.
Среди всех темпов сбалансированного роста производства X и норм процента r можно выбрать максимальный темп сбалансированного роста производства и минимальную норму процента. Обозначим максимальный темп сбалансированного роста производства как X, а минимальную норму процента — r . В [1] показано, что в состоянии равновесия X и r существуют и равны между собой:
_ p(t) BX(t) , X = r ^^ гг-1,
P(t)AX(t)
если для начальных условий выполняется соотношение
_ = P(0)BX(0) -1
=R = p(0)ax(0)- .
Для условий максимального темпа сбалансированного роста производства и минимальной нормы процента траектория производства - T j
X = |X(t), t = 0,1. называется траекторией равновесного роста, или траекторией Неймана, или лучом Неймана, или магистралью. Эта траектория соответствует максимальному сбалансированному росту: xjt ) = (1+r)xf)
= (1+X)
0,8 4 ]
> Пример 2.5. Для модели Неймана с матрицами A = | 1 3 ( 1 3 ,
B = 1 | и с начальными ( 2 4
условиями Р(0) = (24 30) , X(0) = ^40] найти максимальный темп сбалансированного роста производства и минимальную норму процента, а также луч Неймана. Решение. Максимальный темп сбалансированного роста производства и минимальную норму процента определим по формуле
X r PV 1 (24 Ч1 Ш0) ,
X = r = —r-s г^-1 = ^ w -1 =
P^ (24 30))018 ^^
= (24-1 + 30 • 2)50 + (24 • 3 + 30 • 4)40 = = (24• 0,8 + 30•1)50 + (24• 4 + 30• 3)40 = , .
Для первого периода получим
X111) = x110) +Xx110); X = 0,2; x/1) = 50 + 0,2 • 50 = 60; x21) = x20) +Xx20); X = 0,2; x^ = 40 + 0,2 • 40 = 48;
P11) = f^; X = 0,2; Р11)= -24- = 20;
1 + r 1 + 0,2
р(1) Р20) X 0 2 р(1) 30 P2 = ——; X = 0,2; р2' = = 25;
1 + r 1 + 0,2 -1 =
X r P BX(1) 1 X = r = —п тг-1 =
WAY І )
Pl !AX
1 3 V 60
(0 25)
2 4 И 48
J0,8 4Y 60 (20 25)l 1
3 Л 48 (20+25•2 20•3+25•4)
-1 = 0,2
(20 • 0,8 + 25 20 • 4 + 25 • 3)
Как и следовало ожидать, значения для нулевого и первого периодов совпали.
Луч Неймана, или магистраль, соответствующая максимальному сбалансированному росту, определяется соотношением
X(t ) = (1+X) • X (0) = 1,2t 140).
Упражнения (300] 200
; Xt-1 =
• Yy > =
; В =
(0,3 0,1 0,4] 0,20,50,0
v400]
v0,3 0,1 0,2] (0,06 0,02 0,08] 0, 04 0,1 0, 0
А =
0,06 0,02 0,08 (775,5102] 510,2041
v729,5918] Найти валовую продукцию отраслей, прирост валовой продукции каждой отрасли и поставки продукции фондообразующих отраслей i на инвестиционные цели отраслей j: t-1)
(E - A - В )X(t J = Y(t kX' 2

4 11 '
¦(0) =
Задача 2.3. Для модели Неймана с матрицами A
и с начальными условиями Р(0) = (216 162), X(0)
B =
1 2 3 4 найти максимальный темп сбалансированного роста производства и минимальную норму процента, а также луч Неймана.
Библиографический список
<< | >>
Источник: Б.Т. Кузнецов. Макроэкономика. 2011

Еще по теме 2.5. Модель Неймана:

  1. 5.4. РАВНОВЕСИЕ И НЕРАВНОВЕСИЕ НА РЫНКЕ БЛАГ: ПРОСТАЯ МОДЕЛЬ МАКРОЭКОНОМИЧЕСКОГО РАВНОВЕСИЯ, МОДЕЛЬ «КРЕСТ КЕЙНСА»
  2. МОДЕЛЬ
  3. Декомпозиция модели
  4. 12-2. Модель IS-LM
  5. Экономическая модель
  6. Графические модели
  7. 13-1. Модель международногодифференцированного товара
  8. МИЛТОН-МОДЕЛЬ
  9. IV. МОДЕЛЬ (ГБ)
  10. § 2. Модели судебного конституционного контроля.
  11. Модель покупательского поведения
  12. 6.3 Метод расчета по корреляционно-регрессионным моделям