4.8. Задача потребительского выбора для произвольного числа товаров


Для произвольного числа товаров n функция полезности может быть записана следующим образом:
u = u (Xj, х2,..., xn).
Предельная полезность продукта под номером i определяется соотношением
Задача потребительского выбора для этого случая имеет вид: u(xj, X2, ..., xn) ^ max
при условиях
pjX1 + P2X2 + ...
+ pn < I,
xj > 0, X2 > 0, ..., xn > 0,
где u = u (XJ, X2, ..., xn) — функция полезности потребителя; pj, p2 , ..., pn — цена на первый, второй и т.д. товар; I — бюджетное ограничение; xj, х2 , ..., xn — количество приобретенных товаров первого, второго и т.д. типа.
Так же как и для случая двух переменных, эту задачу математического программирования можно заменить задачей на условный экстремум: n
u (xj, х2,..., xn) ^ max при условиях xj > 0, х2 > 0, ..., xn > 0. Функция Лагранжа имеет вид: Xb ..., XJ
n
n
L (( ..., Xn, X) = u (XJ, ..., Xn ) + X( (pjX1 + P2 X2 + ... + pnXn )). Составляем систему линейных уравнений, для чего приравниваем нулю первые частные производные функции Лагранжа: dL (Xn, X) = du (Xn )
-XpJ = 0,
дх,
дх, (4.12)
dL (..^ Xn, X)_ du Xn )
-Xpn = 0,
дх,„
дх,„ dL(,..., xn, X) , ч dX I+ p2 X2 + ... + pnXn )=0.
Умножим уравнение под номером i на pt, а уравнение под номером J на pj и вычтем одно из другого. В результате получим
du ( Xn ) du ( Xn ) 0 —^ p, ^ pi = 0.
дхі дх,
1 J
Перепишем последнее выражение в виде
^ (х1,..., Xn ) I = pi дхі
дх, Таким образом, в точке оптимума отношение предельных по- лезностей любых двух товаров равно отношению их рыночных цен.
Если, например, товар под номером і в к раз дешевле товара под номером J , то при замене вместо одной единицы товара J надо использовать к единиц товара і. Такая замена может оказаться ненужной для покупателя. Поэтому считают, что всякое изменение ухудшает благосостояние потребителя.
Одно из уравнений из системы (4.12) для товара под номером і можно записать в виде
ды ( х1,..., Xn ) . = X.
дхі pt '
Здесь X* — оптимальный множитель Лагранжа, который равен отношению предельной полезности продукта под номером і , т.е.
^ (J^.^ Xn )
Решением задачи потребительского выбора (4.11) является оптимальный потребительский набор из n продуктов, определяемый точкой в и-мерном пространстве. Координаты оптимальной точки
KJ * / * * * \ гл
принято помечать звездочкой, а именно x = I xj, x2,..., xn j. Эта точка называется точкой спроса. Точка спроса, или оптимальное решение, зависящее от цен и бюджетного ограничения, называют функцией спроса. Функцию спроса можно представить в виде
x* = x* (P, I) ,
где x* — вектор оптимальных решений; P — вектор цен; I — бюджетное ограничение.
Представим функцию спроса в виде набора n функций:
xJ = xJ* ( pn, I)
xn = xn (pn, I).
Каждая из представленных в этой системе функций называется функцией спроса конкретного товара.
<< | >>
Источник: Б.Т. Кузнецов. Макроэкономика. 2011

Еще по теме 4.8. Задача потребительского выбора для произвольного числа товаров:

  1. 3. Поведение потребителя и потребительский выбор.
  2. 3.1. Задачи выбора лучшей альтернативы
  3. 3.3. Постановка задачи выбора лучшей альтернативы
  4. 7.3. Тестовая задача: выбор места будущей работы
  5. Допуск лиц из числа авиационного персонала к деятельности
  6. Задачи для контроля
  7. Глава 7.Сегментирование рынка, выбор целевых сегментов и позиционирование товара
  8. Задачи для контроля
  9. Задачи для контроля
  10. Выбор СМИ для связей с общественностью
  11. Задачи для контроля
  12. Глава 10. Установление цен на товары: задачи и политика ценообразования
  13. СИТУАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОВТОРЕНИЯ
  14. Важные вопросы для выбора карьеры
  15. 1. Нож для самообороны, общие критерии выбора
  16. 23.2. Ввоз и вывоз товаров и транспортных средств для личного пользования и применение таможенных пошлин, налогов в отношении таких товаров и транспортных средств
  17. Глава 8. Задачи для самостоятельной работы